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Paradoxe QQ vs (AK, KK+)

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Sinon pour changer de sujet... Dans le paradoxe 2) je dirais bien un truc du genre : Comparer deux stratégies de jeu c'est comparer l'espérance de gain des deux stratégies, on a donc 2 enveloppes avec soit A soit 2A

Première stratégie "je change pas" : j'ai donc une chance sur deux de taper l'enveloppe avec 2A et une chance sur 2 de taper l'enveloppe avec A, mon espérance de gain est donc (2A+A)/2

Deuxième stratégie "je change" : j'ai donc une chance sur deux de taper l'enveloppe avec 2A (et donc 1 chance sur 2 de gagner A en changeant) et 1 chance sur deux de gagner l'enveloppe avec A (et donc 1 chance sur 2 de gagner 2A) du coup je gagne (A+2A)/2

Pour moi les deux stratégies sont bien équivalentes ce qui est logique vu qu'on a pas d'info nouvelle.

Voilà je sais pas trop si c'est juste mais cela me semble plus logique comme façon de penser.

PS : pourquoi est-ce que j'ai l'impression que dans tout ce bordel personne (enfin si moi) ne va s'intéresser à ma réponse.

donc penser comme ça c'est faux ? snif

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Je suis un grand fan de maxtamines. J'ai lu le thread en entier juste pour lire le moment ou il se rendrait compte qu'il a tort... Bon, ok ce moment n'est pas encore arrivé, mais il m'a bien fait rire quand même. :)

Bah, Voj vient de dire la même chose que moi tout en s'attaquant directement à la solution optimale pour le joueur adverse alors que j'ai pris le cas d'un choix aléatoire du joueur.

Mais bon je reconnais que mon attitude a été nulle et que je me suis emporté comme un gamin.

Edited by maxtamines

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personne, a priori je ne voyais pas de défaut de raisonnement dans ta façon de faire mais je crois que je tiens l'erreur.

Maintenant je vais essayer d'être un plus propre.

Tu as un couplet d'enveloppes (A,2A).

Il est évident que ne pas changer d'enveloppe est ev0.

Regardons l'ev de changer d'enveloppe.

Une fois sur deux tu avais l'enveloppe A et en changeant d'enveloppe tu obtiendras 2A ev = A

Une fois sur deux tu avais l'enveloppe 2A et en changeant d'enveloppe tu obtiendras A ev = -A

Donc l'ev de changer est nulle. Right ?

(C'est ce que je crois comprendre de ton raisonnement).

Là où ton raisonnement coince c'est que le A et le 2A sont la MEME quantité. Donc tu ne peux écrire ta deuxième assertion et tu devrais en fait écrire :

Une fois sur deux tu avais l'enveloppe 2A' et en changeant tu obtiendras A' ev = -A'

et il s'avère que A' est en fait la moitié de A....

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Pour le cas 2 (l'histoire des enveloppes), on a aucun intérêt à changer (ça parait logique).

L'erreur que l'on fait intuitivement c'est déduire de 100 la valeur de N, or on ne la connait pas, mais on calcule une espérance de gain comme si on connaissait sa valeur.

Pour préciser un peu, disons qu'on a le choix entre gagner 100% d'une certaine somme ou perdre 50% d'une somme deux fois plus importante !

Ca revient au même :)

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MMmmmhh.. sry j'ai pas lu le thread et je pensais que c'était déjà résolu.. :)

Je sais pas si je loupe un truc énorme ou pas, parce que là ça me semble un peu trop facile présenté comme ça (vous m'excuserez j'ai dormi 17h d'affillé, je suis complètement mort .. et je sais même pas pourquoi..)

Si notre enveloppe contient la somme S l'autre enveloppe contient soit 2S soit S/2 - avec des probabilités d'une sur deux pour chacune. En moyenne changer d'enveloppe nous conduira à 5S/4 et est ev+.

Ce que je comprend pas, c'est qu'on a le choix entre 2 enveloppe, on en prend une au hasard.

Elle contient une somme X. Si on change on a une EV de 1.25X. Donc on a interet à changer.

Si on avait ouvert l'autre enveloppe, elle aurait contenu une somme Y et on aurait eu une EV de 1.25Y en changeant, on aurait donc eu interet à changer.

En gros, quelque soit l'enveloppe qu'on choisit, on a interet à changer ensuite, bien qu'on ait concretement aucune information supplémentaire...

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personne, a priori je ne voyais pas de défaut de raisonnement dans ta façon de faire mais je crois que je tiens l'erreur.

Maintenant je vais essayer d'être un plus propre.

Tu as un couplet d'enveloppes (A,2A).

Il est évident que ne pas changer d'enveloppe est ev0.

Regardons l'ev de changer d'enveloppe.

Une fois sur deux tu avais l'enveloppe A et en changeant d'enveloppe tu obtiendras 2A ev = A

Une fois sur deux tu avais l'enveloppe 2A et en changeant d'enveloppe tu obtiendras A ev = -A

Donc l'ev de changer est nulle. Right ?

(C'est ce que je crois comprendre de ton raisonnement).

Là où ton raisonnement coince c'est que le A et le 2A sont la MEME quantité. Donc tu ne peux écrire ta deuxième assertion et tu devrais en fait écrire :

Une fois sur deux tu avais l'enveloppe 2A' et en changeant tu obtiendras A' ev = -A'

et il s'avère que A' est en fait la moitié de A....

Ah non je prennais pas le problème comme ça : je disais juste que j'essayais de comparer l'espérance de gain des deux stratégies : strat 1 "Ne pas changer", strat 2 "tout le temps changer". J'en arrivais à la conclusion que l'ev de ces deux stratégies étaient égales.

Je trouve que le problème nous induit en erreur par son énoncé. Pose le problème autrement : mets deux enveloppes dans une urne. Dans l'une tu mets un chèque de A, dans l'autre un chèque de 2A. Le joueur tire une enveloppe. La on lui demande si il est sûr et si il veut pas changer ? A priori la réponse évidente est "ca change rien".Sachant que le joueur de notre jeu ne connait pas le montant, il ne sait pas si c'est A ou 2A quand il voit le chèque, du coup pour moi les deux problèmes sont complètement équivalent.

L'erreur vient du fait qu'on "calcule" l'ev du "je ne change pas de chèque" après avoir tiré vu le montant du chèque alors que c'est avant qu'il faut la calculer, puisque le montant ne change rien. C'est pour ça que j'ai comparé les EV des deux stratégies AVANT de tirer le chèque et qu'on obtient le même résultat.

Bon après il y a peut être un truc que j'ai pas vu.

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On aurait alors en dénombrement :

avant de montrer : 6 AA; 6 KK ; 16 AK soit 12 ovp et 16 flips

après avoir montré l'as : 6 AA ; 8 AK soit 6 ovp et 8 flips (même stats donc en négligeant les qqes dixièmes de % d'écart dues à des str8 à la noix)

après avoir montré le K : 6 KK ; 8 AK et toujours les mêmes stats.

Je tiens donc à préciser, parce que je me suis bien pris la tête avec certains la dessus hier soir (ils se reconnaitront), que la couleur du A n'a aucune importance sur l'équité, qui est la même quelque soit la situation.

Dire "j'ai un A" ou "j'ai le A de coeur" ou rien ne change rien.

Merci, bonne journée.

Edited by Maikow

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Bon sinon Voj, ça vient oui cette réponse pour le paradoxe 2 ? J'aimerais bien savoir si j'ai raison ou j'ai tord...

je l'ai résolu page 7

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Non, je ne me gourre pas. C'est fokks qui a interprêté le post d'OP de facon trop pragmatique en insérant la couleur de l'As alors que l'OP parle du problème théorique ou on est sur à 100% qu'il a un As (mais on ne sait pas la couleur.

Quelquesoit l'as détenu, l'as a une et une seule couleur (trefle, pique, carreau ou trefle).

Pour chaque cas de figure on peut reprendre le raisonnement de l'as de carreau.

Garder toute la range des 16 AK revient à dire qu'un as peut être à la fois de carreau, de pique, de coeur et de trefle, ce qui est faux. Il est donc faux de garder toute la range des AK et on doit la diviser par 4 (il reste donc 4 combinaison de AK possible)

Ce n'est pas parce qu'on ne connait pas la couleur de l'as qu'il n'a pas de couleur.

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Je tiens donc à préciser, parce que je me suis bien pris la tête avec certains la dessus hier soir (ils se reconnaitront), que la couleur du A n'a aucune importance sur l'équité, qui est la même quelque soit la situation.

Dire "j'ai un A" ou "j'ai le A de coeur" ou rien ne change rien.

Merci, bonne journée.

8|

En fait, je serais définitivement convaincu quand on m'aura expliquer où est la couille dans ce raisonnement:

Vilain push et sa range est AK/KK+

Je fold car QQ n'est pas assez strong comme vu précédemment.

Soudain, vilain m'annonce qu'il n'a pas KK ( il ne ment jamais).

Que faites vous ?

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Quelquesoit l'as détenu, l'as a une et une seule couleur (trefle, pique, carreau ou trefle).

Pour chaque cas de figure on peut reprendre le raisonnement de l'as de carreau.

Garder toute la range des 16 AK revient à dire qu'un as peut être à la fois de carreau, de pique, de coeur et de trefle, ce qui est faux. Il est donc faux de garder toute la range des AK et on doit la diviser par 4 (il reste donc 4 combinaison de AK possible)

Ce n'est pas parce qu'on ne connait pas la couleur de l'as qu'il n'a pas de couleur.

Non mais vous décomposez les évènements suivant 4 scénario. Mais quand on regarde la décomposition à l'arrivée, les évènements que vous annoncez ne sont pas équiprobable.

Une question toute conne à laquelle j'aimerais que vous me répondiez :

Si on prend votre façon d'aborder le problème comme par exemple:

Citation :

1) Vilain dit j'ai un A

- On élimine KK

- Vilain a soit AA soit AK

- Mais alors il a soit :

-- Ad et alors on a :

--- AdAh AdAc AdAs // AdKd AdKh AdKc AdKs : 3 AA, 1 AKs + 3AKo (3 ovp, 4AK)

-- Ac et alors on a :

--- AcAh AcAd AcAs // AcKc AcKd AcKh AcKs : 3 AA, 1 AKs + 3 AKo (3 ovp, 4AK)

-- As et alors on a :

--- AsAh AsAd AsAc // AsKs AsKd AsKh AsKc : 3 AA, 1 AKs + 3 AKo (3 ovp, 4AK)

-- Ac et alors on a :

--- AcAh AcAd AcAs // AcKc AcKd AcKh AcKs : 3 AA, 1 AKs + 3 AKo (3 ovp, 4AK)

Donnez moi :

1) la probabilité que la main de vilain soit AdKs.

2) la probabilité que la main de vilain soit AdAc...

Je suis prêt à prendre des bets sur le fait que j'ai raison et vous tord.

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"Lorsque vilain montre un As, il n'a pas KK et sa range est donc {AA, AK}"

En fait cette phrase est vraie, mais parfaitement inutile d'un point de vue probabilistes.

Lorsque vilain a AK, il a le choix de montrer l'as ou de montrer le roi.

Dès lors le problème devient dependant de vilain.

Imaginons que dans le cadre du jeu, on sache que vilain ait AA,KK ou AK et qu'il soit en plus obligé de vous montrer une carte. Il va être obligé de cnstruire une stratégie où vous ne gagnerez rien de plus grâce à votre information supplémentaire, et cette stratégie sera de montrer une fois sur deux avec AK l'as et l'autre fois sur deux le K (de manière parfaitement aléatoire).

On aurait alors en dénombrement :

avant de montrer : 6 AA; 6 KK ; 16 AK soit 12 ovp et 16 flips

après avoir montré l'as : 6 AA ; 8 AK soit 6 ovp et 8 flips (même stats donc en négligeant les qqes dixièmes de % d'écart dues à des str8 à la noix)

après avoir montré le K : 6 KK ; 8 AK et toujours les mêmes stats.

Bref maintenant même si vilain n'est pas obligé de montrer une carte - mais qu'il décide néanmoins d'en montrer une, dès lors qu'il est un minimum bon, il montrera une fois sur deux l'as et une fois sur deux le roi si il a as roi. Et vous ne pourrez pas caller.

Bref le paradoxe c'est que dand cette situation montrer une carte n'apporte aucune information supplémentaire si tant est que Vilain a un tant soi peu réfléchi au problème avant.

Si villain te montre un A, je ne vois pas comment tu peux avoir 6 combis de AA. On a plutot 3 combis de AA et 4 de AK non ? Au final ça donne le même rapport.

Merci Voj de me rassurer.

En plus tu penses directement à un truc auquel personne n'a pensé.

Je ris. T'as compris son post au moins ? Il dit que montrer une carte ne change rien d'un point de vue probabiliste (ce que tous tes détracteurs te disent depuis le début quoi). Toi tu disais quelques posts plus tôt que si villain annonce "j'ai un as" ça change notre équité.

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Bon je crois que c'est plus la peine de parler de AA/KK/AK, on est tous d'accord!

La diff c'est que max considère que vilain va choisir volontairement quelle carte il veut nous montrer ou je ne sais pas quoi....

Or comme toujours au poker on raisonne en long terme et en tirage, et donc ici on considère que vilain ne choisit lui-même pas sa carte...

Bref après c'est marrant de voir 100000 posts qui expliquent la même chose qu'on a expliqué dans les 5eres pages...

Sinon pour changer de sujet... Dans le paradoxe 2) je dirais bien un truc du genre : Comparer deux stratégies de jeu c'est comparer l'espérance de gain des deux stratégies, on a donc 2 enveloppes avec soit A soit 2A

Première stratégie "je change pas" : j'ai donc une chance sur deux de taper l'enveloppe avec 2A et une chance sur 2 de taper l'enveloppe avec A, mon espérance de gain est donc (2A+A)/2

Deuxième stratégie "je change" : j'ai donc une chance sur deux de taper l'enveloppe avec 2A (et donc 1 chance sur 2 de gagner A en changeant) et 1 chance sur deux de gagner l'enveloppe avec A (et donc 1 chance sur 2 de gagner 2A) du coup je gagne (A+2A)/2

Pour moi les deux stratégies sont bien équivalentes ce qui est logique vu qu'on a pas d'info nouvelle.

Voilà je sais pas trop si c'est juste mais cela me semble plus logique comme façon de penser.

PS : pourquoi est-ce que j'ai l'impression que dans tout ce bordel personne (enfin si moi) ne va s'intéresser à ma réponse.

Pour moi ça ne peut strictement rien changer!

Pour ceux qui changeraient d'enveloppe, répondez à cette question :

"je prends la 1ere enveloppe (E1), or comme il est ev+ de changer (selon vous), je change d'enveloppe, sans même avoir regarder le montant de E1, puisque de toute façon c'est ev+ de changer... J'arrive donc à l'enveloppe E2, et j'ai gagné! Waouh!!!! Sauf que t'as pas connu le montant de E1, et que tu changes d'enveloppe juste parce que c'est apparemment ev+...."

Je pense que le problème de ce genre de problème (justement) et d'induire tout le monde en erreur sur le raisonnement dés que t'essayes d'y appliquer des maths, et que quand tu réfléchis intuitivement tu connais la solution sans être capable de la démontrer mathématiquement

Pour préciser un peu, disons qu'on a le choix entre gagner 100% d'une certaine somme ou perdre 50% d'une somme deux fois plus importante !

Ca revient au même :)

Je pense que ce que dit fairy est exact :)

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Savoir la couleur change un peu les proba quoi qu'il arrive.

Puisque nous avons QQ avec 2 couleurs distinctes ;)

Si l'adversaire montre Ax avec x parmis la couleur de nos Q il aura forcément plus de % de win (et à contrario moins s'il montre un Ax avec x qui n'est pas de la couleur d'une de nos Q).

Donc dire j'ai un A ou cette tel Ace, donne des proba légèrement différentes.

Quoi qu'il arrive, ca ne change rien dans le nombre de combinaisons puisque dire j'ai un As, c'est savoir qu'il a une couleur parmis les 4 (donc comme écrit 61546541 fois, ca donne 3AA et 4AK)

/end :P

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Merci k4b4l.

On pars du principe que la proba d'avoir flush n'influe pas, on fait de petites approximations, certains pensent juste que le fait de dire j'ai le A ou j'ai le A de coeur change le nombre de combinaisons.

Merci de confirmer une fois de plus le contraire.

1) la probabilité que la main de vilain soit AdKs.

2) la probabilité que la main de vilain soit AdAc...

La même.

Tu bet combien? :)

Edited by Maikow

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Merci k4b4l.

On pars du principe que la proba d'avoir flush n'influe pas, on fait de petites approximations, certains pensent juste que le fait de dire j'ai le A ou j'ai le A de coeur change le nombre de combinaisons.

Merci de confirmer une fois de plus le contraire.

La même.

Tu bet combien? :)

Propose une cote.

Etant donné que je suis seul contre beaucoup, je suis outsider, j'exige donc une cote en conséquence.

Edited by Mikhail

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Merci k4b4l.

On pars du principe que la proba d'avoir flush n'influe pas, on fait de petites approximations, certains pensent juste que le fait de dire j'ai le A ou j'ai le A de coeur change le nombre de combinaisons.

Merci de confirmer une fois de plus le contraire.

La même.

Tu bet combien? :)

Ok ça change quelques %. Mais là en l'occurence ça peut influer son l'équité qui fait qu'on va décider du call ou pas, mais pas sur le raisonnement, les combinaisons ou autres...

Sinon, pour revenir aux enveloppes :

Pour ceux qui changeraient d'enveloppe, répondez à cette question :

"je prends la 1ere enveloppe (E1), or comme il est ev+ de changer (selon vous), je change d'enveloppe, sans même avoir regarder le montant de E1, puisque de toute façon c'est ev+ de changer... J'arrive donc à l'enveloppe E2, et j'ai gagné! Waouh!!!! Sauf que t'as pas connu le montant de E1, et que tu changes d'enveloppe juste parce que c'est apparemment ev+...."

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Par contre Fokks, sur l'énigme 2, à priori je suis pas d'accord avec toi (je dis à priori, car je suis pas sur d'avoir bien compris). Ton histoire d'espérance globale, est très intéressante, cependant si tu ouvres 100¤, et que derrière tu te dis que t'es à 50/50 dans un jeu à EV 150 ou 75, le résultat est le même 100¤ < 112.5¤, tu vas changer d'enveloppe. Je confirme que pour moi cette énigme 2 reste un paradoxe encore ouvert.

OK, je vais donc essayer d'etre plus clair pour expliquer comment j'analyse cette enigme, sachant que come tout le monde, je peux me tromper, j'ai juste répondu à la suite de la lecture.

Je considere le probleme 1, dit local:

"l’une contient exactement le double de l’autre" et l'enveloppe A contient 100.

Je peux donc en deduire que l'enveloppe B contient 200 ou 50.

J'ai donc 2 cas de figure, enveloppe A = 100 et env B = 200

ou env A = 100 et env B = 50.

Dans le premier cas j'ai une esperance mathematique de 150 ((100 + 200) /2) (je veux bien y jouer tous les jours à ton jeu)

Dans le second cas j'ai une esperance de 75 ((100 + 50) / 2).

Je ne sais pas si je suis dans le cas 1 ou 2 mais mon experance de gain dans le cadre de ce jeu est de 75 ou de 150 uniquement.

La phrase "J’avais une chance sur 2, de trouver l’enveloppe maxi, donc je n’ai pas spécialement d’intérêt à changer" ama est vrai car on ne sait pas si l'enveloppe est max car on ne sait pas si on est dans le cas 1 ou 2.

Voici ce que je designe par probleme global:

Le probleme global serait de prendre de la hauteur sur le jeu du probleme 1. La phrase suivante est tres importante :"enveloppe à une chance sur 2 de contenir 50¤ ou 200¤, "

En disant cela on dit aussi qu'on a une chance sur deux d'etre dans le cas 1 du probleme 1 cad qu'on peut se retrouver soit dans un jeu à esperance de 150, soit dans un jeu à esperance de 75.

On va donc en quelques sorte devoir calculer une esperance d'esperance mathematique.

MOn esperance est donc de (150 + 75) / 2 = 112,5 et si on considere que l'env A contient 100 alors je suis d'accord pour dire que l'enveloppe B contient 50 ou 200. Si on change et qu'on perds on ne perds que 50 alors que si on gagne on gagne 100, on a donc interet à changer (si on considere qu'on a bien 1 chance sur 2 d'etre dans l'un ou l'autre des deux cas enoncé de maniere equiprobable).

Le deuxieme énoncé est donc vrai à partir du moment ou on énonce la phrase "une chance sur deux".

C'est un jeu auquel je veux bien jouer tous les jours mais la subtilité c'est de discerner le jeu à esperance de 75 ou 150 de celui à 112,5 ou l'on considere que l'on peut "tomber" sur l'un ou l'autre des jeux, on fait donc le moyenne des esperances de gain.

J'espere avoir été plus clair, les 2 ne sont pas vrai en meme temps, elles sont vrai successivement à partir du moment ou l'énoncé apporte un nouvel élément.

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Bah l'autre c'est tout con.

Y'a X, 2X et 0 ds les enveloppes. On sait juste que dans E1 (celle qu'on a choisi au départ), on a une somme donc X ou

2X

Cas1:

On a X ds E1

En switchant, on a 50% d'avoir 2X ou 0 donc ev(keep) = ev(switch)

Cas2:

On a 2X ds E1

En switchant, on a 50% d'avoir X ou 0 donc ev(keep) = 4* ev(switch)

Quoi qu'il arrive, il faut GARDER L'ARGENT et non switcher comme certains le prétende (on disant que 1.25 ev(keep) = ev(switch)

Next ? :D

m**de, je ne sais pas lire il n'y a que 2 enveloppes dans le problème 2.

Donc forcément, osef, ca revient au même de switcher ou pas :(

Edited by k4b4l

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Bah l'autre c'est tout con.

Y'a X, 2X et 0 ds les enveloppes

Cas1:

On a X ds E1

En switchant, on a 50% d'avoir 2X ou 0 donc ev(keep) = ev(switch)

Cas2:

On a 2X ds E1

En switchant, on a 50% d'avoir X ou 0 donc ev(keep) = 4* ev(switch)

Quoi qu'il arrive, il faut GARDER L'ARGENT et non switcher comme certains le prétende (on disant que 1.25 ev(keep) = ev(switch)

Next ? :D

Ah ? Y a trois enveloppes dont une avec 0 ??

Next ?

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Ué j'ai mal lu l'énoncé :(

Avec 2 enveloppes, y'a rien de compliquer car ev(keep) = ev(switch)

Au début on a 50% d'avoir X ou 2X, donc 1.5X en moyenne.

En switchant, on a 50% d'avoir 2X ou X, donc 1.5X en moyenne.

C'est si dure que ca la 2 ? :(

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Juste un truc j'ai un cerveau déréglé ou bien la première n'est pas du tout contre-intuitive comme le dit OP ? Perso la première chose qui me vient à l'esprit c'est qu'il faut changer

C'est vrai que ce n'est pas forcément intuitif de ne pas vouloir changer, moi perso à premiere intention je comprenais pas pourquoi changer ou pas changer fasait une difference donc je comprends que l'un ou l'autre puisse etre intuitivement la solution favorite, ca depend des gens.

Ce qu est interressant c'est de comprendre pourquoi il est juste de changer.

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Ah non je prennais pas le problème comme ça : je disais juste que j'essayais de comparer l'espérance de gain des deux stratégies : strat 1 "Ne pas changer", strat 2 "tout le temps changer". J'en arrivais à la conclusion que l'ev de ces deux stratégies étaient égales.

Je trouve que le problème nous induit en erreur par son énoncé. Pose le problème autrement : mets deux enveloppes dans une urne. Dans l'une tu mets un chèque de A, dans l'autre un chèque de 2A. Le joueur tire une enveloppe. La on lui demande si il est sûr et si il veut pas changer ? A priori la réponse évidente est "ca change rien".Sachant que le joueur de notre jeu ne connait pas le montant, il ne sait pas si c'est A ou 2A quand il voit le chèque, du coup pour moi les deux problèmes sont complètement équivalent.

L'erreur vient du fait qu'on "calcule" l'ev du "je ne change pas de chèque" après avoir tiré vu le montant du chèque alors que c'est avant qu'il faut la calculer, puisque le montant ne change rien. C'est pour ça que j'ai comparé les EV des deux stratégies AVANT de tirer le chèque et qu'on obtient le même résultat.

Bon après il y a peut être un truc que j'ai pas vu.

Pour moi on a deux raisonnements justes qui sont contradictoires, et pour l'instant personne dans ce thread (ni d'ailleurs l'auteur du livre où je l'ai lu) n'a pas lever le loup.

Le raisonnement qui dit qu'on a pas d'intérêt à changer, a été très bien expliqué par plusieurs, par exemple dans la quote de "personne" , ci-dessus.

La seule little-mini déduction potentiellement douteuse que je vois dans le deuxième type de raisonnement, c'est de dire après avoir ouvert l'enveloppe qui contient x ¤, que comme on avait une chance sur 2 d'ouvrir le maxi ou le mini, la deuxième enveloppe a alors une chance sur 2 de contenir 2x ¤ ou X/2 ¤. Quelquepart ça sous-entend que le maitre du jeu lui a la possibilité de tirer un nombre aléatoire dans R+, où chance nombre à la même chance d'être tiré (chose qui est impossible évidemment). Du coup, on pourrait penser qu'à la lecture de l'enveloppe, l'information modifie les probabilités entre 2x et X/2, au lieu de les laisser à 50/50. Pour prendre un exemple un peu bateau, en rajoutant la condition que les chèques sont fait en nombre entier de cents d'¤, si jamais j'ouvre une enveloppe de 112.33¤, je peux être sur qu'il faut changer d'enveloppe du fait de l'imparité de ce nombre en cents d'¤.

Biensur, ce raisonnement ne me convainc pas, les chèques pouvant est libéllé en nombre réel si j'ouvre un chèque de 223.12x(racine 7ème de (pi-e)) ¤, on peut pas dire que cette information puisse m'orienté vers quoique ce soit.

L'auteur Smullyan, expliqué avoir discuter de ce paradoxe avec bcp de mathématiciens, que certains avançaient des histoires liées au tirage au sort équiprobable dans R+, d'autres allaient jusqu'à dire (si ma mémoire est bonne) que ça dépendait de l'acceptation de l'axiome du choi, etc...

Bref, c'est pas gagné ...

PS : Voj, introduire le principe d'utilité, ça peut rajouter encore un peu d'intérêt à un problème déjà peut-être insoluble. Histoire de lever cet aspect on peut considérer que notre joueur est infiniment riche et donc que cet argent supplémentaire à de tout façon une valeur très marginale.

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Pour moi garder ou changer est ev0.

La seule réponse à cette énigme est celle qui a été donné au début : c'est un rapport à l'argent.

Si j'ouvre 100 000e je ne change pas car c'est une somme importante pour moi. Mais si j'ouvre 100e j'veux bien changer et tenter de doubler, sachant que mathématiquement l'ev est de 0 dans les deux cas

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