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fix

Des exos de Math pour le fun

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il y a 8 minutes, Vingte a écrit :

Le 1, OMFG !!

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Si le 0 est accepté comme 1er chiffre, je propose :

052631578947368421
Sinon, je propose :

105263157894736842

 

:hello:

étonnant non ? Au depart je pensais limite le résoudre en tâtonnant :)

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à l’instant, dupire a écrit :

:hello:

étonnant non ? Au depart je pensais limite le résoudre en tâtonnant :)

Idem, j'ai vite trouvé que 2 c'était pas possible, me suis dit, ça va vite être bon avec 3 chiffres.

Ma méthode :

Spoiler

notons notre nombre sous cette forme

abcdef....z

alors en posant une addition
    abcdef....z
+ abcdef....z
= zabcdef....

Partons de la fin : 
La dernière lettre z est un chiffre entre 1 et 9 (si z = 0, alors a = 0 ,etc)

Maintenant, cherchons quelle est la 1ère lettre.
Si z = 1, alors a = 0, et on a une retenue, je le note 10 dans mon tableau (car la somme b + b = 10)
Si z = 2, alors a = 1 et on a pas de retenue.
Si z = 3, alors a = 1 avec une retenue, on note 11. 2b doit valoir 11, donc b = 5 + 1 de retenue, on note 15.
On continue la suite jusqu'à retomber sur la valeur z

 

2021-10-26_21h33_13.png.8be99d96fa6666e933cefcc866b1845c.png

Dans mon message précédent, j'ai mis la mauvaise réponse

 

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Jolie méthode 

Spoiler

 

J avais fait un peu différemment 

Une fois que j avais compris que le nombre allait être grand j avais posé 

X = a_n x 10^n + a_n-1 x 10^(n-1)  + .. + a_1 x 10 + a_0

on veut 2X = a_0 x 10^n + a_n x 10^(n-1)  + .. + a_1

donc (10^n - 2) a_0 = 19 x (a_1 + 10 a_2 + ...)

donc pour que ça marche il faut que 19 divise 10^n -2. 

En regardant les congruences successives de 10^k modulo 19, ça donne n=18 chiffres pour X et les autres a_i se déduisent en choisissant a_0, et en se trompant pas dans la division :)

 

bien étonné du résultat quand même ! 

 

 

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il y a 7 minutes, fix a écrit :

C’esr Quoi que j’ai pas compris sur la grenouille ? 

La grenouille franchit la ligne en 2 coups 50% du temps, mais elle a besoin de 3+ 50% du temps aussi. Donc en moyenne il lui faut strictement plus que 2.5 sauts. J'ai pas la réponse mais intuitivement c'est autour de 3, peut-être Pi :)

Edited by 17 lièvres

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il y a 1 minute, fix a écrit :

 

C’esr Quoi que j’ai pas compris sur la grenouille ? 

 

Il y a 3 heures, fix a écrit :

 

b) une grenouille part de 0 et fait des bonds de longueur aléatoire uniforme entre 0 et 1. Je dois rater un truc dans l'enonce ou la question:

EV de chaque bond 0.5.... EV de 2 bonds 1... donc reponse = 2 bonds - la grenouille depasse 1 apres 2 bond la moitie du temps.

 

Je pense que t as donné la médiane ?
 

2 c est tentant mais l espérance est forcément plus grande :

- la grenouille peut pas sortir en 1 bond

- elle sort en 2 bonds avec proba 0.5

- elle peut sortir en 3, 4, 5 ... bonds


Honnetement possible que ça soit pas mega fendard. si y a pas de solution sympa qui émerge je mettrais la mienne qui est pas très élégante. Le résultat est quand même joli.

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il y a 2 minutes, 17 lièvres a écrit :

La grenouille franchit la ligne en 2 coups 50% du temps, mais elle a besoin de 3+ 50% du temps aussi. Donc en moyenne il lui faut strictement plus que 2.5 sauts. J'ai pas la réponse mais intuitivement c'est autour de 3, peut-être Pi :)

Poteau !
C est « l autre » belle réponse :)

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je dois pas avoir compris le problème de la grenouille ?
Rien que des simus sur Excel me donne des chiffres bien plus gros que e
Une fois qu'elle a choisis un pas, elle le garde bien jusqu'à la fin ?

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il y a 19 minutes, Vingte a écrit :

je dois pas avoir compris le problème de la grenouille ?
Rien que des simus sur Excel me donne des chiffres bien plus gros que e
Une fois qu'elle a choisis un pas, elle le garde bien jusqu'à la fin ?

Ah non pardon si c était pas clair, elle fait des bonds indépendants à chaque fois 

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Il y a 1 heure, 17 lièvres a écrit :

La grenouille franchit la ligne en 2 coups 50% du temps, mais elle a besoin de 3+ 50% du temps aussi. Donc en moyenne il lui faut strictement plus que 2.5 sauts. J'ai pas la réponse mais intuitivement c'est autour de 3, peut-être Pi :)

Ahh mais oui bien sûr ! Merci

Pour raisonner élégamment on peut pas trouver un raisonnement telle que l’ev est (Je note d’une traite)

2 sauts +

la moitié du temps ça suffit

+ l’autre moitié du temps(

Encore 1 saut  + un 1/3 du temps(

Encore 1 saut + un quart du temps(

Encore 1 saut + ...

Ça donne un Ev = 2+1/2.(1+1/3.(1+1/4.(...)

 

[je dis ça juste pour tomber sur la formule de e]

Edited by fix

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Grenouille 

Spoiler

 

Je commence par la fin et cette intégrale multiple : I(n) qui vaut 1/ n!

(Par récurrence, le résultat est clean mais c est un peu chiant à faire)

8144C039-4934-4473-857E-E724D8F2A173.thumb.jpeg.5a4e8fad10665060d286ea0b24531e44.jpeg
 

(Dans l intégrale c est une indicatrice)

Après le reste se déroule bien ; on définit

Q(n) = proba que la grenouille soit sortie après n bonds 

P(n) = proba que la grenouille sorte exactement au n-ieme bond 

on a Q(n) = P(1)+ ... +P(n) donc P(n)=Q(n) - Q(n-1)

d autre part Q(n) = 1-I(n)

(I(n) compte les cas favorables pour n être pas sorti)

donc P(n) = 1/(n-1)! - 1/n!

ensuite pour calculer l espérance on a: E=Somme k x P(k) = ..= Somme 1/k! = e 

Le résultat est quand même assez joli

 

 

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il y a 21 minutes, Vingte a écrit :

T'es prof de math ? 
Je ne me rappelle plus si j'avais vu les intégrales d'intégrales en sup/spé, mais c'est clairement oublié

Non (mais je pratique encore pas mal au taf et ça peut m arriver d intervenir dans un cours)

ouais donc grenouille un peu chiant ; par contre les voitures c est pas très calculatoire 

indice 

Spoiler

regarder la place de la voiture la plus rapide 

 

Edited by dupire

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C'est fou comme mon niveau de math s'est degrade en 15 ans de plus en faire. Elles sont vrament top tes enigmes.

Les voitures reflexion en cours avec ton indice

Spoiler

 

- B(n) le nombre de blocs moyen avec n voitures

- N le nombre total de voitures

AVec k la k-ieme voiture la plus rapide, k va se coller a k+1 donc

B(N sachant k ) devient B(N-1) pour tout k sauf si k=N alors dans ce cas B(N)=B(N-1)+1 ce qui se produit 1/N fois.

 

B(1)=1

B(2)=B(1)+1/2

B(3)=B(2)+1/3 ?

 

 

 

 

Edited by fix

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il y a 5 minutes, fix a écrit :

C'est fou comme mon niveau de math s'est degrade en 15 ans de plus en faire. Elles sont vrament top tes enigmes.

Les voitures reflexion en cours avec ton indice

  Masquer le contenu

 

- B(n) le nombre de blocs moyen avec n voitures

- N le nombre total de voitures

AVec k la k-ieme voiture la plus rapide, k va se coller a k+1 donc

B(N sachant k ) devient B(N-1) pour tout k sauf si k=N alors dans ce cas B(N)=B(N-1)+1 ce qui se produit 1/N fois.

 

B(1)=1

B(2)=B(1)+1/2

B(3)=B(2)+1/3 ?

 

 

 

 

:hello:

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il y a 17 minutes, fix a écrit :

C'est fou comme mon niveau de math s'est degrade en 15 ans de plus en faire.

Globalement je trouve qu il y a une dichotomie nette en sortant d école : soit des jobs (enseignants, un peu en recherche privée, recherche publique) où on va faire du « technique » (=maths ou physique etc) toute sa vie ; soit pour la majorité, des jobs où on fait du technique 2 ou 3 ans et ensuite prendre des responsabilités et management / gestion de projet pour toute la suite. 

Je suis dans la première catégorie, au jour le jour je ne regrette pas car ça m’intéresse toujours. Mais y a des désavantages comme rester troufion for ever.

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Question dont je ne connais pas la réponse mais qui m’interesserait.

 La home page de YouTube a 2 vidéos : vidéo A a a vue, vidéo B a b vues.

La proba de chaque visiteur de cliquer sur la vidéo A est a/(a+b) et celle de cliquer sur à vidéo B est b/(a+b)

On commence avec a=1 et b=2. 

Quelle est la proba que A ait a un moment + de vues que B ? (Ou si c’est trop dur, la proba que a>b après une infinité de visiteurs)

 

e.g le visiteur #1 a 2/3 chance de cliquer sur B et si il clique sur B, le visiteur #2 a 3/4 chance de cliquer sur B,...

Edited by fix

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Il y a 4 heures, fix a écrit :

Question dont je ne connais pas la réponse mais qui m’interesserait.

 La home page de YouTube a 2 vidéos : vidéo A a a vue, vidéo B a b vues.

La proba de chaque visiteur de cliquer sur la vidéo A est a/(a+b) et celle de cliquer sur à vidéo B est b/(a+b)

On commence avec a=1 et b=2. 

Quelle est la proba que A ait a un moment + de vues que B ? (Ou si c’est trop dur, la proba que a>b après une infinité de visiteurs)

 

e.g le visiteur #1 a 2/3 chance de cliquer sur B et si il clique sur B, le visiteur #2 a 3/4 chance de cliquer sur B,...

Ils en parlent un peu ici à partir de 2m45 mais c'est pour a = 1 et b = 1.

 

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Je vais regarder ca, j'aime bien le mec.

J'ai herche la proba que A rattrappe B et je me perd un peu et surtout je ne sais pas au fond si y a une proba de 1 d'avoir a un moment suffisamment long a=b. Intuitivement je dis non mais il faut sommer toutes les proba de rattraper la video B

En 1 visite: 1/3 ou

En 3 visites: 2/3*1/4*2/5

En 5 visites: 2/3*3/4*1/5*2/6*3/7 + 2/3*1/4*3/5*2/6*3/7 

En 7 visites: on commence à voir une formule poindre 

Je viens de mater : ok mon probleme est pas une petite enigme de forum. C'es un gros morceau.

Edited by fix

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j’ai je crois une formule horrible à base de:

- une variation du nombre de catalan C’n (cf wiki) qui est le nombre de chemin pour A rattrape B après n visites (on doit exclure des chemins compris dans la def standard)

- K(p) = 2.p!p!/(2p+1)! La proba d’un chemin où la vidéo A rattrape B en 2p+1 étapes

 

Donc la proba que A rattrape B est la Somme de p=1 a +infini de:

C(2p+1)*K(p)

Edited by fix

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Il y a 19 heures, fix a écrit :

Question dont je ne connais pas la réponse mais qui m’interesserait.

 La home page de YouTube a 2 vidéos : vidéo A a a vue, vidéo B a b vues.

La proba de chaque visiteur de cliquer sur la vidéo A est a/(a+b) et celle de cliquer sur à vidéo B est b/(a+b)

On commence avec a=1 et b=2. 

Quelle est la proba que A ait a un moment + de vues que B ? (Ou si c’est trop dur, la proba que a>b après une infinité de visiteurs)

 

e.g le visiteur #1 a 2/3 chance de cliquer sur B et si il clique sur B, le visiteur #2 a 3/4 chance de cliquer sur B,...

 

Ben c'est chaud , et même pas répondu à tout :hmm:

  • Pour visualiser on représente la trajectoire de la différences entre le nombre de vues a de A et le nombres de vues b de B, avec en abscisse n=a+b le nombre total de vues. Pour chaque vue de A ça monte de 1, pour chaque vue de B ça baisse de 1

Avec cette visualisation :
- A est plus vue que B à un certain rang : la trajectoire finit au dessus de 0 à ce rang
- A rattrape B à un moment : la trajectoire coupe 0 à un moment
- A passe devant B à un moment : la trajectoire coupe 1 à un moment

image.png.6464e600c81a590156c2cf583b20ccea.png

 

  • Quand on se ballade dans la grille, c'est le bordel, les probas de monter ou baisser changent partout. 

Mais y a un truc qui simplifie un peu quand même : toutes les trajectoires qui vont de (a, b, n=a+b) à (a',b',n'=a'+b') ont même probabilité de se réaliser

image.png.28fbdce8dfc8e26e303ec860b7dc2b9c.png

 

En effet : a va devoir passer de a à a', b va devoir passer de b a b', et n va passer de n à n'. Quel que soit l'ordre dans lequel on les met on aura le même produit au numérateur et le même au dénominateur ; in fine la proba de chaque trajectoire allant de (a,b,n) à (a',b',n') vaut :
Q(a,b,n -> a',b',n') =  (a x (a+1) x ... x (a'-1) ) * (b x (b+1) x ... x (b'-1) ) / (n x (n+1) x ... x (n'-1) )

En plus, on sait combien il y a de ces trajectoires : il y a (n'-n) moves à faire et on connaît le nombre de montées à faire : (a'-b') -(a-b). Le nombre de trajectoires c'est la manière de placer ces montées sur le chemin (le reste est contraint), donc la combinaison C (n'-n, (a'-b') -(a-b) )

Donc en fait on connaît la proba de passer d'un point quelconque de la grille (a,b,n) à un autre point quelconque de la grille (a',b',n') : 

P(a,b,n -> a',b',n') = C(n'-n, (a'-b')-(a-b))  x  (a x (a+1) x ... x (a'-1) ) * (b x (b+1) x ... x (b'-1) ) / (n x (n+1) x ... x (n'-1) )

  • C'est quand même assez énorme comme information de connaître toutes les probas de déplacements d'un point à un autre.
    Mais malheureusement ça permet pas de répondre à tout. Par exemple, on connaît toutes les probas de couper l'axe des 0 à n'importe quel rang, mais ces probas ne sont pas indépendantes du tout donc c'est le bordel à sommer ou multiplier
  • D'abord un truc que tu demandais auquel on peut répondre  :"la proba que a > b après une infinité de visiteurs" en partant de a=1 et b=2
    En calculant les probas d'aller à chaque point pour n pair par exemple (résultat similaire en prenant n impair) :
    Ex pour n=100 : 

    image.png.cc7967775392eb7ed21ec9dcd7f402c5.png

On arrive à la proba qu'on ait a>b à un rang n pair : P(a>b, n) = 1/2 * ( (n/2)-1) / (n-1)

Ce qui donne le résultat suivant :
La proba qu'après un très grand nombre de vues, A ait été plus regardé que B en partant de a=1 et b=2, vaut 1/4

(une simulation confirme ça)

  • On obtient aussi un autre résultat : pour que la trajectoire finisse positive en partant négative de (a=1, b=2) , il faut nécessairement couper l'axe des 0 à un moment :
    P(finir positif) = P(finir positif | on coupe 0 à un moment). P (on coupe 0 a un moment) + P(finir positif | on coupe jamais 0). P (on coupe jamais 0)
    Le 2ème terme vaut évidemment 0.

    D'autre part, une fois qu'on arrive pile sur l'axe des 0 à un moment, la proba de finir strictement positif "loin" vaut 1/2 par symétrie
    donc en appliquant ça après un nombre très grand de vues : 1/4 = P(on coupe 0 à un moment en partant de a=1 b=2) x 1/2

Ce qui donne le résultat suivant :
La proba que A rattrape à un moment B en partant de a=1, b=2, vaut 1/2 

(une simulation confirme ça)

 

  • Reste le dernier problème : la proba que A passe devant B à un moment en partant de a=1, b=2, autrement dit que notre trajectoire atteigne 1

Au début je pensais que c'était plié en conditionnant par le coup précédent et en écrivant :
P(atteindre 1 en partant de a=b=1) = 1/2 + 1/2 * P(atteindre 0 en partant de a=1, b=2) * P(atteindre 1 en partant de ce 0)
Et malheureusement non, car les 2 termes en italique ne se valent pas. Plus on coupe 0 tard, plus c'est probable d'atteindre 1 par la suite. Car après un grand nombre de vues, si on arrive à a=b, les probas sont "collées" à 1/2, et quand on descend on a moins de mal à remonter qu'au début ...

On peut quand même encadrer : P(atteindre 1 en partant de a=b=1) < P(atteindre 1 en partant de a=b=k) < 1

Ce qui donne en remplaçant   ( on sait d'apres le paragraphe précédent que P(atteindre 0 en partant de a=1 b=2)  = 1/2) :
La proba que A soit plus vu à un moment donné que B en partant de a=1 et b=1 est compris entre 2/3 et 3/4

(une simulation me donne 69% qui est dans l'intervalle)

 

enfin on sait que P(atteindre 1 en partant de a=b=1) = 1/2 + 1/2 * P (atteindre 1 en partant de a=1 et b=2), ce qui avec le même encadrement nous donne : 

La proba que A soit plus vu à un moment donné que B en partant de a=1 et b=2 est compris entre 1/3 et 1/2

(une simulation donne 38.5% ce qui est dans l'intervalle)

 

 

J'ai pas regardé la vidéo ; est ce qu'ils donnent la proba que A soit plus regardé que B à un moment donné en partant de a=1 et b=1 ?

Pour l'instant je cherche encore un peu .... Mais je suis curieux de ce résultat :)

 

 

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T’es génial.

la vidéo répond si en partant de 1,1 (ou 2,2 le résultat est différent)  : quel sera la distribution du ratio A/B.

est ce que on finit forcément avec une vidéo vu infiniment + de fois que l’autre, est ce que ça converge quelque part ? Est ce que ça converge jamais ?

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