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mush

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  1. Enigme

    C'est fou comme c'est pas clair en fait quand on relit 2 jours après.... Pour Sitbackdown: Ademettons que tu as gagné k fois après n sng. Comme tu multiplies ta bankroll par 3/2 lorsque tu gagnes et la multiplie par 1/2 lorsque tu perds, ta bankroll initale est multipliée par (3/2)^k * (1/2)^(n-k), ce qui est égal à 3^k / 2^n. Pour être gagnant, il faut que ce nombre soir supérieur ou égal à 1. cad k ln (3) > n ln(2), i.e. k > n * ln(3)/ln(2). Pour taamer: I est une fonction strictement convexe, qui s'annule uniquement en p=0.6 (facile à vérifier car ln(1) = 0). sa valeur en x* est ce que j'ai dit, i.e. 0.002017
  2. Enigme

    Salut à tous! Je viens de voir le post. En effet, la probabilité d'être gagnant après n sng tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. On peut dire beaucoup plus et donner un equivalent de cette probabilité lorsque n tend vers l'infini. l'évènement "être gagnant après n sit and go" est égal à l'évènement "avoir gagné au moins n*(log(2)/log(3)) fois" (je crois que ça a été dit par quelqu'un mais de toute manière c'est très facile à vérifier) Un petit peu d'intuition: a chaque sng, on a proba 0.6 de gagner et il faut en gagner une proportion de log(2)/log(3) ~ 0.63.... Donc sur le long terme ce n'est pas bon. Pour ceux qui connaissent quelques éléments de probabilités, en notant X_n la variable aléatoire égale au nombre de sng gagnés après en avoir joué n, on a d'après la loi forte des grands nombres, X_n/n ---> 0,6 presque surement (avec probabilité 1). Maintenant, ce que l'on veut calculer pour résoudre le problème initial c'est la PROBABILITE DE DEVIER de cette valeur moyenne 0.6. Plus précisemment, on est intéressés par Proba(X_n/n > log(2)/log(3)) Là ça devient plus délicat car ça fait intervenir un "principe de grandes déviations" (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_grandes_déviations) Pour faire simple, on a une formule qui donne un équivalent de la probabilité. Je vous passe les détails, ca donne (sauf erreur) Proba(être gagnant en jouant n sng) ~ e^(-n I(x*)), où: - x* = log(2)/log(3), - ln est le log en base e, - I est une fonction (positive convexe, et s'annulant uniquement en x*), donnée par - I(x) = x ln(x/p) + (1-x) ln((1-x)/(1-p)), avec p=0.6. A titre d'information I(x*) ~ 0.002017 Donc après 1000 sng on a environ 87% de chance d'être perdant. Après 10000 sng, on a environ 99.9999% de chance d'être perdants. j'espère que je ne me suis pas trompé et que c'est compréhensible. N'hésitez pas à me demander si vous voulez des détails sur l'estimé. ++
  3. WSOP 2010 Event #52 [Officiel]

    Peut etre que sa main est 87 et que c'est une typo?
  4. WSOP 2010 Event #51 [Officiel]

    Je sais pas si c'est un fish mais il a l'air sacrement desagreable a la table d'apres ce aue l'on peut deduire du reportage pokernews.... Dommage en effet qu'on donne cette image la
  5. les verres que l'on voit sur les photios ne ressemblent pas à des shooters. Qui tombe malade après un mètre de shooters de tequila anyway?
  6. Coverage Winamax: Julien checke. Son adversaire mise 5,000. Julien soupire : il sait qu'il est battu, au regard de l'action et de la taille minuscule de la mise adverse. Mais il ne peut pas jeter la très belle main qu'il possède : APique8Pique pour la couleur max. Il paie en annonçant « Tu as un full. » Ca m'énerve les gens qui font ça....
  7. Paradoxe QQ vs (AK, KK+)

    Si on veut résoudre ce problème mathématiquement, il n'y a pas d'autre issue que de le voir comme un problème de théorie des jeux; la notion de "stratégie" n'est pas définie en dehors de ce contexte. Si tu veux trouver une stratégie optimale (ou comparer différentes stratégies) dans un problème donné, il faut que ce soit modélisable en termes de TDJ. Comment définis tu la notion de stratégie d'ailleurs?
  8. Paradoxe QQ vs (AK, KK+)

    oui, il est prof a l'UCLA, théorie des jeux, stats
  9. Paradoxe QQ vs (AK, KK+)

    marrant, T fergusson est en première référence...
  10. Paradoxe QQ vs (AK, KK+)

    Sans information supplémentaire sur l'ensemble des stratégies accessibles à la nature (mathématiquement, l'ensemble des lois de probas qu'elle peut utiliser pour tirer x), on ne peut pas déterminer si tel ou tel cutoff est mieux, ce sont juste des stratégies différentes, plus ou moins bonnes réponses à telle ou telle stratégie de la nature. En tout cas, toutes les stratégies de cutoff dominent les deux stratégies equivalentes "toujours changer" ou "jamais changer"
  11. Paradoxe QQ vs (AK, KK+)

    Sans information supplémentaire sur l'ensemble des stratégies accessibles à la nature (mathématiquement, l'ensemble des lois de probas qu'elle peut utiliser pour tirer x), on ne peut pas déterminer si tel ou tel cutoff est mieux, ce sont juste des stratégies différentes, plus ou moins bonnes réponses à telle ou telle stratégie de la nature. En tout cas, toutes les stratégies de cutoff dominent les deux stratégies equivalentes "toujours changer" ou "jamais changer"
  12. Paradoxe QQ vs (AK, KK+)

    Cela a peu d'importance, en théorie, ma strategie en tant que joueur 2 peut être par exemple de choisir c=200 et de jouer ainsi: j'ouvre une enveloppe et si je trouve moins que 200, je change, si je trouve plus de 200, je ne change pas. Toi, tu es dieu ou la nature; tu dois choisir une valeur réelle x suivant une certaine loi. comme tu ne connais pas mon cutoff, tu peut très bien être amené à choisir une valeur x telle que x<200<2x (x entre 100 et 200 strictement). 2 cas alors: -soit tu choisis une valeur x a l'exterieur de l'intervalle ]100,200[ et je vais perdre x avec probabilité 1/2, gagner x avec probabilité 1/2: exemple tu choisis 50; le couple est (50,100) et je vais perdre 50 si j'ai ouvert la 100 (car je change), soit je vais gagner si j'ouvre la 50. Equité nulle par rapport à toujours changer ou jamais changer -Soit tu choisis une valeur strictement entre 100 et 200, par exemple 150 et là, je ferai forcement le bon choix avec ma strategie: changer si j'ouvre la 150 et ne pas changer si je trouve 300. Equité positive par rapport à ne jamais changer ou toujours changer.
  13. Paradoxe QQ vs (AK, KK+)

    Je n'ai pas le courage de lire l'intégralité des réponses en détails mais je peux vous donner la réponse mathématique du second problème. Je l'ai déjà donné à des étudiants pour qu'ils réfléchissent (ils ne trouvent jamais ceci dit...) a) l'analyse naive suggère de changer d'enveloppe pour la raison citée plus haut: on trouve x dans l'enveloppe et l'esperance de ce qu'on touche en changeant est = 1/2 (x / 2 + 2x) = 5/4x > x. le raisonnement a l'air juste mais ne repose sur rien de mathématique. La stratégie de changer , quelque que soit la some x trouvée ne peut pas être bonne, sinon on continuearait à switcher infiniment, augmentant ainsi indéfiniment son esperance de gain..... b) Le problème est assez subtil mais se résume assez simplement: une fois que l'on a ouvert une enveloppe et que l'on a trouvé x dedans, rien ne permet d'affirmer qu'il y a equiprobabilité entre x / 2 et 2x dans l'autre!!! Il faut en effet voir ca comme un problème de théorie des jeux dans lequel on joue contre la nature (il n'y a pas à proprement parler d'"adversaire"). La nature choisit donc un nombre y sur la droite des réels (induisant un couple (y,2y), suivant une certaine loi de probabilité P. Une loi de probabilité sur l'ensemble des réels ne peut pas charger uniformément tous les réels et P(y>t) tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini . Une strategie gagnante est donc de choisir a l'avance de changer ou non suivant ce que l'on appelle un "cutoff" (noté c dans la suite) c'est à dire une valeur charnière. Si la nature choisit x et 2x suivant une loi de probabilité chargeant l'ensemble des réels, notre équité est alors strictement supérieure à la stratégie de ne jamais changer ou de toujours changer. Ce gain correspond à la probabilité que x<c<2x.
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PokerStars : Micro Millions
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