Il serait intéressant dans ce topic de rappeler les probabilités avec des exemples concrets.

Rappels (merci wikipedia)

Factoriel

4! = 4*3*2*1
9! = 9*8*7*6*5*4*3*2

Arrangements (choix en tenant compte de l'ordre)


Sans répétition
Sans répétition sous entend qu'on peut utiliser un objet qu'une seule fois. Par exemple, si on utilise des boules numérotés et qu'on veut en tirer 2 parmis un sac contenant 10 boules uniques (de 1 à 10), on ne pourra pas avoir la combinaison {1,1} puisque la 1 a déjà été tiré et qu'on ne la remet pas dans le sac.

=> Le nombre d'arrangements sans répétition de n éléments dans k: A(k,n) =n!/(n-k)!

Ainsi si je dispose de 100 boules numérotés de 1 à 100 dans un sac et que j'en tire uniquement 3 en tenant compte de l'ordre, j'ai A(3,100) = 100!/(97!) = 100 * 99 * 98 = 970200 combinaisons possibles.

De la même manière pour connaître le nombre de possibilité de main de départ au hold'em en considérant l'ordre (donc 2 cartes parmis 52), j'ai A(2,52) = 52!/(50!) = 52*51 = 2652 combinaisons possibles

Avec répétition
Avec répétition sous entend qu'on peut reutiliser un objet plusieurs fois. Par exemple, si on utilise des boules numérotés et qu'on veut en tirer 2 l'un après l'autre parmis un sac contenant 10 boules uniques (de 1 à 10), on pourra avoir la combinaison {1,1} si on remet la boule 1 dans le sac.
De la même manière, si on lance 5 dés à 6 faces, on peut avoir plusieurs fois la même valeur et non des valeurs différentes.

=> Le nombre d'arrangements avec répétition de n éléments dans k: Ar(k,n) =n^k
Ainsi si je tire 3 dé à 6 valeurs, le nombre total de combinaisons est de Ar(3,6) = 6^3 = 216 possibilités.

Combinaisons (choix ne tenant pas compte de l'ordre)


Dans le cas des combinaisons, on ne distingue pas l'ordre. Par exemple, si vous tirer 2 dé, la combinaison {1,4} sera la même que la combinaison {4,1}

Sans répétition

=> Le nombre de combinaison sans répétition de n éléments dans k: C(k,n) = A(k,n)/k! = (n!/(n-k)!)/k!

Par exemple, pour en revenir au nombre de main de départ du hold'em, :Ad :Qd est égal à :Qd :Ad. Donc j'ai au final j'ai C(2,52) = (52!/(50!))/2! = (52*51)/2 = 1326 combinaisons possibles.

Avec répétition

=> Le nombre de combinaison avec répétition de n éléments dans k: Cr(k,n)=C(k,n+k-1) = A(k,n+k-1)/k! = (n+k-1!/(n-1)!)/k!

Ainsi si je tire 3 dé à 6 valeurs en même temps, le nombre total de combinaisons est de Cr(3,6)=C(3,8)=A(3,8)/3!=(8!/5!)/3!=(8*7*6)/(3*2)= 8*7 = 56 possibilités.

Cela vous semble peu mais il faut savoir que {1,2,2} ou {2,1,2} ou {2,2,1} compte comme étant juste 1 possibilité.

Variance
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
Par exemple, si vous faites 100 allins étant favori à 70%.
La variance vaut 70 * (100-70)² + 30 * (70-0)² / 100= (70*900+30*4900)/100=2100

Ecart Type
Il vaut le carrée de la variance.
Dans notre exemple, l'ecart type vaut racine(2100)=45

Intervalle de confiance

Un intervalle de confiance est un intervalle qui est supposé contenir, avec un certain degré de confiance, la valeur à estimer. Par exemple, un intervalle de confiance à 95% (ou au seuil de risque de 5 %) a 95% de chance de contenir la valeur du paramètre que l'on cherche à estimer mais cet intervalle de confiance est trompeur dans 5 % des cas.

Si la valeur est comprise entre (x=moyenne):
* [x-(ecarttype/racine(n)); x+(ecarttype/racine(n))], on est confiant à 68%
* [x-2*(ecarttype/racine(n)); x+2*(ecarttype/racine(n))], on est confiant à 95%
* [x-3*(ecarttype/racine(n)); x+3*(ecarttype/racine(n))], on est confiant à 99.7%

Si on revient à notre écart type de 45 concernant les allins à 70% favori.
Sur 100 essai:
* 68%: [65,5; 74.5]
* 95%: [61; 79]
* 99.7%: [56.5; 83.5]

Sur 1000 essai:
* 68%: [68,57;71.42]
* 95%: [67,15;72.84]
* 99.7%: [65.73;74.26]


Exemples

1) Probabilité de tirer un flop monocolore
On peut raisonner en arrangements ou en combinaisons.
On va partir en combinaisons.

Le nombre de flop total est C(3,52)=(52!/49!)/3! = 52*51*50/6 = 22100 flops différents sans compter l'ordre.
Le nombre total de combinaisons contenant 3 cartes de même couleurs est de C(3,13). Et vu qu'il y a 4 couleurs différentes, il faut multiplier ce résultat par 4.
4 * C(3,13) = 4 * (13*12*11/6) = 4 * (286) = 1144

La probabilité est donc: p(flop monoclor) = nombre de flops monocolor / nombre de flops totals = 1144/22100 = 0.0517 = 5.17%.

2) Probabilité de tirer un flop bicolore

Le nombre total de flops est toujours 22100 flops différents.
Par contre, il nous faut 2 cartes d'une même couleur (C(2,13)) et une autre qui n'est pas de la même couleur (donc 1 parmis des 52-13 restantes soit 39). Et vu qu'il y a toujours 4 couleurs différentes pour C(2,13), le nombre de flops bicolore est donc de:
4 * C(2,13) * 39 = 4 * 39 * (13*12/2) = 12168

La probabilité est donc: p(flop bicolor) = nombre de flops bicolor/ nombre de flops totals = 12168/22100 = 0.55 = 55%.

3) Badrun: Probabilité de ne gagner que 60 tapis (alors qu'on est favori à 70%) en 100 allins
On tire 100 dés en même temps à 10 faces. Les 1 2 3 nous font perdre et 4 5 6 7 8 9 10 nous font gagner.

Le nombre total de possibilités d'un jet de 100 dés à 10 face est de Cr(100,10) = C(100,109) = A(100,109)/100!=
109!/(9!*100!)=109*108*107*106*105*104*103*102*101/9*8*7*6*5*4*3*2= 4 263 421 511 271 combinaisons

Mais nous on cherche 60 dé qui font 4,5,6,7,8,9,10 et 40 dés qui font 1,2 ou 3 qu'importe l'ordre.

Le nombre total de possibilités de faire 4+ avec 60 dés est de Cr(60,7)=C(60,66)=A(60,66)/60!=66!/(6!*60!)=66*65*64*63*62*61/6*5*4*3*2=90 858 768

Le nombre total de possibilité de faire 1,2,3 avec 40 dés est
Cr(40,3)=C(40,42)=A(40,42)/40!=42!/(2!*40!)=42*41/2=861

Donc la proba global de faire 60 dés 4+ et 40 dés 1,2,3 sur 100 dés est de:

(90 858 768 * 861) / 4 263 421 511 271 = 0.018 = 1.8%

Cela représente 1.8% de toutes les combinaisons possibles (attention cela ne veut pas dire que vous avez 1.8% de gagner 60 alors que d'habitude vous devez en gagner 70 sur 100).

D'ailleurs en regardant plus haut, on voit que sur 100 essai, en gagner que 60 fait partie seulement de 5% de la population (rappel 95% => [61;79] ).

D'ailleurs on va calculer l'impact financier d'un tel écart.
Imaginons qu'on mette 80BB à chaque fois que nous sommes à tapis en 70/30 (parfois, on le met à la turn donc on met moins de 80 BB mais d'autres fois, on le fait preflop avec 140 BB).
Sur 100 all-ins, on est censer gagner 80 * (70-30) = 3200 BB
Mais au final, on en à gagner que 80*(60-40) = 1600 BB

2 fois moins !!!

Ce message a été modifié par k4b4l: 20/08/2008 à 13:53

Merci kabal, j'ai justement mes ratrapage de proba en septembre..

C'est ce que j'allais dire. put**n m**de c'est les vacances pour certains étudiants!
Refais plus un coup pareil. Cest pas grave on sera négatif jusqu'à septembre.

le nombre de flop c'est C(50,3) si tu as deux cartes en mains soit 19600

Son calcul est fait dans un cas général ou on ne connait les cartes de personnes.

Pour ceux que le sujet intéresse, la référence :
le Combrouze