L'EV pour les nuls

Je parlerai ici d'un jeu parfait. Si vous prenez une vraie pièce pour jouer à pile ou face, rien ne vous permet d'affirmer que la pièce, suite à un lancer, tombera une fois sur deux côté pile, et une fois sur deux côté face. Aspérités, différence de gravures entre l'avers et le revers, façon de lancer sont autant de paramètres complexes qui empêchent d'être certain de cette parité pile/face.

C'est pourquoi les mathématiques viennent en renfort (Tan-tan-taaaaaaaan !). On imagine un pile ou face tel que chacun de nous le conçoit : une chance sur deux de tomber sur pile, et une chance sur deux de tomber sur face (et aucune de tomber sur la tranche ni de ne pas tomber, et aucune d'obtenir un autre cas pathologique).

Intéressons la partie en disant que je joue contre Léo : si la pièce tombe sur pile (P), il me donne $1 ; si la pièce tombe sur face (F), je lui donne $1. Oui, ce jeu ne présente pas d'intérêt pécuniaire particulier. Je n'y jouerai probablement jamais. Étant consciencieux, je vais tenir le compte de tous mes lancers depuis le début du jeu, et admettre (rêvons un peu) que mon compte en banque a un solde positif infini (c'est beau, les maths !).

Commençons par quelques rappels simples :

• Probabilité d'obtenir PP (pile, puis pile) : ½ * ½ = ¼ (ou 0,25, ou 25%, ou une chance sur quatre, ces tours ont la même signification)

• Probabilité d'obtenir PPP (pile, puis pile, puis pile) : ½ * ½ * ½ = 1/8 (ou 0,125, ou 12,5%, ou une chance sur huit, même remarque)

• Probabilité d'obtenir PPPP…PPP (n fois P d'affilée, c'est-à-dire que la pièce tombe sur pile n fois de suite) : ½ * ½ * … * ½ (n facteurs égaux à ½) = 1/(2*2*2*…*2), noté en mathématiques 1/(2^n) (prononcez « 1 sur deux puissance n »). Cette formule est logique : en effet, plus n est grand, plus 2^n est grand, plus 1/(2^n) est petit. Autrement dit, plus n est grand, moins il est probable qu'on obtienne n fois P d'affilée.

Corsons un peu l'affaire : Quelle est la probabilité d'obtenir PF, c'est-à-dire pile puis face ? Elle est toujours d'¼. On peut même détailler tous les résultats possibles obtenus lors de deux lancers consécutifs :

• {PP, PF, FP, FF}, chacun des événements ayant une probabilité de ¼ (Que c'est bien de jouer avec une pièce parfaite, merci les mathématiques ! ). ¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 1 (ou 100%), cela est cohérent avec le fait que j'aie bien listé tous les événements possibles.

• Pour trois lancers, nous aurions {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF}, avec chacun une probabilité d'1/8.

Le paragraphe de la vénalité est donc entamé. Quand je disais plus haut que le jeu n'avait aucun intérêt pécuniaire, c'était pour ne pas vous rebuter. En temps normal, j'aurais dit que mon espérance mathématique de gain (en anglais, expected value (EV), qui signifie littéralement « valeur attendue, gain que l'on s'attend à obtenir ») était nulle. Que cela veut-il dire ?

Rappel des règles du jeu : À chaque lancer, je gagne $1 de Léo si la pièce tombe du côté pile (P), et je donne $1 à Léo si elle tombe du côté face (F). Étant consciencieux, je vais tenir le compte de tous mes lancers depuis le début du jeu, et admettre (rêvons un peu) que mon compte en banque a un solde positif infini (c'est beau, les maths !).

Cela veut dire qu'en jouant à ce jeu de manière répétée, je ne gagnerai pas d'argent. La logique (dont il faut généralement se méfier dès qu'il s'agit de probabilités) me dit que j'obtiendrai, sur un grand nombre de lancers, un nombre de P et de F voisins, sinon identiques, et que je ne devrais ni m'endetter, ni m'enrichir avec ce jeu.

Les mathématiques, quant à elles, m'indiquent (et les mathématiques, je leur fais confiance) :

En lançant une pièce, j'obtiendrai une fois sur deux P, et une fois sur deux F. Une fois sur deux, je gagnerai $1, et une fois sur deux je perdrai $1.

L'EV se calcule ainsi : EV = Probabilité_d'obtenir_P * gain_si_la_pièce_tombe_sur_P + Probabilité_d'obtenir_F * gain_si_la_pièce_tombe_sur_F

En chiffres, cela donne EV = 0,5 * $1 + 0,5 * $-1 = $0 (La logique avait donc raison). Sur 10 lancers, mon espérance est 10 * $0 = $0. Sur mille lancers, idem.

Conclusion de ce calcul d'EV : Comme me le susurrait la logique, je ne devrais ni m'endetter, ni m'enrichir avec ce jeu. Devrais ? Oui, devrais. Pourquoi un conditionnel ?

Pourquoi un conditionnel ? Parce que le long terme est en train de vous rire au nez. Grrr ! Mais quel est donc cet intrus ? Tout semblait si parfait, si idyllique. Je vais tenter de vous expliquer de manière simple des notions concernant le long terme.

Vous lancez trois fois la pièce. Vous avez, selon les résultats, perdu $3 (1 chance sur 8), perdu $1 (3 chances sur 8), gagné $1 (3 chances sur 8) ou gagné $3 (1 chance sur 8) (je laisse soin au lecteur de retrouver ces résultats s'il a un doute, ou par plaisir de s'entraîner).

Prenons (j'ai le choix, alors tant qu'à faire…) le cas où vous avez gagné $3 (vous venez d'obtenir P trois fois de suite). Pour les trois prochains lancers, vous avez toujours une chance sur huit de gagner $3, une chance sur huit de perdre $3, etc. En effet, la pièce n'a pas de mémoire, elle ne sait pas qu'elle vient de tomber trois fois de suite sur P, et quand bien même elle le saurait, elle s'en contreficherait pour ce qui est des trois prochains lancers. Ayant gagné $3, ces $3 sont acquis et, pour l'avenir, vous êtes, hormis ce piètre pécule, sur un pied d'égalité avec Léo, qui vient de perdre $3. C'est injuste (Bisous à Chalon sur Saône) ? Peut-être, mais c'est ainsi. Vous avez plus de chance de rester en positif que de repasser en négatif. Cool, isn't it ?

Reprenons l'exemple après 1000 lancers : imaginons que j'aie gagné $146 (décidément !). Léo fait la tête, il en a perdu autant. Pour les 1000 prochains lancers, vous resterez globalement (en comptant les 2000 lancers) en positif si vos « gains » sont entre $-146 et $1000. Vous passerez globalement (en comptant les 2000 lancers) en négatif (et Léo sourira enfin) si vos « gains » sont entre $-1000 et $-148 ($-147 est impossible pour un nombre pair de lancers).

Et la logique autant que les mathématiques vous le disent : sur mille lancers, il est plus probable d'obtenir entre $-146 et $1000 qu'obtenir entre $-1000 et $-148.

Voilà, vous pouvez vous réveiller : ce que je viens de vous écrire est tout autant valable pour Léo. Et Léo, ça peut être vous. $-146 après 1000 lancers, vous avez plus de chances d'être toujours débiteur à l'issue des 1000 prochains lancers que de passer en positif à l'issue de ces lancers. Ce que certains appellent une spirale, un cycle de malchance, une déchatte prolongée. Pour un jeu à espérance nulle...

Le long terme, lui, se veut rassurant. Il indique que, si vous lancez la pièce suffisamment de fois, alors le nombre de P sera voisin du nombre de F (en partant de $0 de gains).

Au Texas Hold'em, environ une fois toutes les cent mains pour ma part, je mise mon tapis et suis suivi, alors que toutes les cartes du tableau n'ont pas été dévoilées par le croupier ou la room. Une fois les mains des deux joueurs dévoilées, il est aisé (pour un ordinateur) de calculer la chance de chacun de remporter le pot. Le hasard dévoile ensuite les cartes du tableau. Et à la fin, le pot va au plus chanceux. Oui, j'insiste, au plus chanceux. Même si l'un des deux a plus de probabilité d'être chanceux. Je m'explique :

Situation simple : pas de blinds, deux joueurs avec un tapis de $50 chacun. J'ai (paire d'as) en main, Léo a (paire de rois). Pour simplifier, disons que, si nous partons à tapis avant le flop, j'ai 80% de chance de gagner et Léo 20% (les chiffres sont en réalité 81,95% contre 18,05%). Nous partons à tapis.

• Si je gagne, j'empoche la totalité du pot, soit $100, pour un gain net de $50.

• Si je perds, je perds la totalité du pot, soit $100, pour une perte nette de $50.

Mon EV, dans ce cas, est : EV = chancedegagner * ce_que_je_gagne_quand_je_gagne + chance_de_perdre * ce_que_je_perds_quand_je_perds.

En chiffres, cela donne : EV = 0,80 * $50 + 0,20 * $-50 = $40 - $10 = $30, qui est un nombre positif.

Cette situation est donc profitable (si vous en doutiez). J'ai donc un intérêt pécuniaire à réitérer cette opération, en admettant que je trouve un adversaire volontaire (merci à Léo, il a huit ans, je ne devrais peut-être pas…). Si on voulait être équitable, on ne dévoilerait aucune carte du tableau. On me donnerait $80 et on donnerait $20 à Léo. Mais, le cas échéant, il y aurait encore moins de chances que Léo veuille rejouer.

Si je perds, je suis malchanceux. En effet, je perds $50 alors que mon espérance est de $30. J'avais 80% de chances de l'emporter, on peut donc concevoir que Léo m'a « usurpé » $80. Je finis avec $0, et Léo avec $100.

En revanche, si je gagne, je suis chanceux. En effet, je gagne $50 alors que mon espérance n'est que de $30. Bien que j'eusse 80% de chances de l'emporter, on peut concevoir que j'ai « usurpé » $20 à Léo. Je finis avec $100, et Léo avec $0.

J'avais (largement) plus de chances que Léo de l'emporter, et pourtant je suis chanceux si je l'emporte réellement. D'où mon assertion plus haut.

Pour reprendre une situation similaire à celle du "pile ou face", imaginons dix confrontations à tapis avec vs . Mon EV est : EV = 10*$30 = $300. Ces $300 constituent ce que je devrais gagner.

Imaginons que je procède à ces dix confrontations et que je ne gagne que 5 fois. J'ai donc gagné 5*$50 et perdu 5*$50. Je suis donc à "0" au niveau pécuniaire, mais mon EV étant de $300, je suis à $-300 par rapport à ce que j' "aurais dû" gagner. Léo, lui, est aussi à "0" au niveau pécuniaire, mais son EV étant de $-300 (je laisse là aussi au lecteur le soin de le calculer s'il doute), il est à $+300 par rapport à ce qu'il "aurait dû" gagner.

Et, de même que c'était le cas pour les $146 après 1000 lancers de pièces, il y a plus de chances (je ne détaillerai pas le calcul qui est sans intérêt, seul le concept a ici une importance) que, après les dix prochaines confrontations, je sois à nouveau en négatif (par rapport à mon EV, hein, pas par rapport à mon compte en banque), que de chances que je sois repassé en positif.

Différents logiciels analysent les mains de poker que vous avez jouées, et en déduisent un "graphique de chance", ou "luck graph". Ce graphique ne tient compte que des confrontations à tapis qui ont lieu avant que les cartes du tableau ne soient toutes dévoilées. Il ne donne pas d'indication (ou très peu) sur votre niveau de jeu. Il est constitué de trois courbes : une courbe "Expected" (ce que j'aurais dû gagner), une courbe "actual" (ce que j'ai réellement gagné), et la courbe différence des deux premières (courbe de chance). Voici mon graphique de juin :

Mes courbes de gains à tapis en juin 2009

Les ordonnées (axe vertical) sont graduées en Big Blinds, et pas en dollars, mais elles représentent bien de l'argent (les fameuses pépètes). En vert, la courbe "Expected". Elle monte assez régulièrement : cela signifie, grosso modo, que lorsque je pars à tapis contre un adversaire, j'ai globalement plus de chance de remporter le pot que lui n'en a. En bleu, la courbe "Actual", l'argent que j'ai réellement gagné. Son allure est voisine de celle de la courbe verte. En rouge, enfin, la fameuse "courbe de chance". Quand je remporte un pot (à tapis), elle monte, et quand je perds un pot (toujours à tapis), elle descend. L'axe des abscisses (axe horizontal) représente la "chance" moyenne.

Si, comme je l'évoquais plus haut, on voulait être équitable quand Léo et moi partions à tapis ( vs ), on me donnerait $80 du pot et on donnerait $20 à Léo. Si tel était le cas, la courbe de chance serait confondue avec l'axe des abscisses. Mais si c'était le cas, Léo ne jouerait pas contre moi. Oui, c'est parce qu'on peut gagner par chance de l'argent contre quelqu'un que le poker est populaire.

Ma courbe de chance (rouge) est donc 792BB sous le niveau zéro, cela signifie que, ce mois-ci, j'ai été malchanceux à hauteur de 792BB (uniquement dans les confrontations à tapis). Et je sais que, au cours des 329 prochains tapis, il y plus de chances que ma courbe rouge reste sous le niveau de la mer…

Souhaitant que cet article vous ait aidé à mieux appréhender la notion d'Ev et de long terme.